连续/离散时间的单位冲激/阶跃关系及其表示意义

简单冲激和阶跃关系

差分：离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的差分

$ \delta[n] = u[n] - u[n-1] $

微分: 连续时间单位冲激是连续时间单位阶跃的微分:

$ \delta_{\Delta}(t) = \frac{d u_{\Delta}(t)}{dt} $

这是离散时间单位阶跃函数到离散时间单位脉冲转换。

相反，离散时间单位阶跃函数是离散时间单位脉冲的求和,即:

$ u[n] = \sum_{m=-\infty}^{n} \delta[m]
$

连续时间单位阶跃函数是单位冲激的积分:

$ u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) , d\tau $

这是$\delta$关于变量$\tau$从负无穷到t的积分,是一个求和且带有极限思想的过程

我们一般将其虚拟变量m或者$\tau$替换为另一个虚拟变量k或者$\sigma$

即

$ k = n - m $

$ \sigma = t - \tau $

则离散时间单位阶跃和连续时间单位阶跃的表达式变为:

$ u[n] = \sum_{k = \infty}^{0} \delta[n - k] $

$ u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)d\tau = \int_{\infty}^{0} \delta(t - \sigma)(-d\sigma)
$

第二个公式的负号是这样变化过来的:

$ \sigma = t - \tau $

$ d\sigma = -d\tau $

则有:
$ d\tau = -d\sigma $

虚拟变量替换

虚拟变量k从无穷大变化到0和从0变化到无穷大是一样的. 这是普通求和过程,颠倒求和顺序是无碍的(不改变符号). 积分中含有负号,可以将积分上下限颠倒位置. 则上述两个等式可以变换为:

$ u[n] = \sum_{k = 0}^{\infty}\delta[n - k] \
u(t) = \int_{0}^{\infty} \delta(t - \tau)d\tau $

积分就是求和,但是带有极限的思想.微分是积分的反方向.积分颠倒上下限是需要变换负号.而求和是不需要的

经过上述的变化, 其真实意义就在于,我们可以知道,只有当 $n = k$ 或者 $t = \tau $时,$\delta$才会为1,通过观察虚拟变量的取值范围,就知道,公式右边的单位阶跃函数是否可以取到值,即:

$ \forall n < 0, u[n] = 0 $

$ \forall t < 0, u(t) = 0 $

假如我们有一个信号x(t),有这个表达式:

$ x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t) $

根据单位冲激的性质,我们知道,这是将x(t)信号在t = 0处进行了采样.这个过程是化简了后的过程.

实际上,我们的单位冲激是一个$ \Delta \rightarrow 0 , \delta_\Delta(t) $的极限,近似到0处的取值.

故,我们要对x(t)在$ t_0 $处采样,就需要:

$ x(t)\delta(t - t_0) = x(t_0)\delta(t - t_0) $

再次强调,这里的$ \delta(t) $是理想化的东西

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